Examen du cours MOPSI

1 Il s'agit du modèle du pendule linéarisé avec frottement visqueux. Le seul point d'équilibre est (x, v) = (0, 0). C'est un point d'équilibre stable, ce qu'on peut vérifier par exemple en utilisant la fonction de Lyapunov H(x, v) = (x 2 + v 2)/2. En fait, on montrera dans la suite que c'est un point d'équilibre asymptotiquement stable. 2 Il suffit de faire le calcul explicitement. On vérifie quë x + λ ˙ x + x = 0. L'équation caractéristique associée à cette EDO s'écrit : r 2 + λr + 1 = 0 et admet comme solution r ± = 1 2 −λ ± √ λ 2 − 4 si λ > 2, et r ± = 1 2 −λ ± i √ 4 − λ 2 si λ < 2. Dans le cas où λ = 2, on a une racine double r + = r − = − λ 2. Par conséquent, la solution s'écrit (a ± , a 0 et a 1 désignant des constantes) – si λ > 2, x(t) = a + exp 1 2 −λ + λ 2 − 4 t + a − exp 1 2 −λ − λ 2 − 4 t – si λ < 2, x(t) = exp(−λt/2) a 0 cos(4 − λ 2 t) + a 1 sin(4 − λ 2 t) – si λ = 2, x(t) = (a 0 + a 1 t) exp(−λt/2). On en déduit que x(t) et v(t) convergent exponentiellement vite (quand t → ∞) vers 0 avec un taux r(λ) = 1 2 λ − √ λ 2 − 41 λ≥2 , pour λ = 2. Dans le cas critique, pour λ = 2, le taux est r = 1 + η pour tout η > 0. 3 H(x, v) représente la somme de l'énergie potentielle associée à la force −x qui s'exerce sur le système, et de l'énergie cinétique. Un calcul donne immédiatement : d dt H(x(t), v(t)) = −λv(t) 2. On observe que H(x, v) n'est pas majoré par v 2 , et donc il ne semble pas possible d'appli-quer un Lemme de Gronwall pour conclure à la convergence exponentielle de H(x(t), v(t)) vers 0.